삼각함수의 기본 개념과 그래프로 보는 원리 관계

이름만 들어보고 넘어갈 때가 많았던 바로 그 "삼각함수" (Trigonometric function)
sin(싸인), cos(코사인), tan(탄젠트)로 이루어졌다고 보통 알고있죠?
 
삼각함수는 말 그대로 삼각형의 각 변끼리의 관계를 나타내는 방법이라고 할 수 있어요.
한 각이 직각인 삼각형이 있고 다른 한 각을 Ɵ(세타)라고 했을 때
Ɵ(세타)의 각이 변하면 삼각형의 변의 길이도 달라지겠죠?
 
각이 변함에 따라 달라지는 변의 길이 간의 관계를 나타낸 거죠.
 

 
 
이번에 공부하면서 정의역과 치역에 대해 다시 복습하게 됐는데
정의역은 x값을 나타내는 범위, 공역은 y값을 나타내는 범위 혹은 영역이에요.
여기서 치역은 정의역에 대하여 정해진 y값의 범위입니다.
치역과 공역이 나뉜 건
y값 전체 중에 정의역에 대응하는 값들만 나타내기 위해서 그런 걸로 보입니다.
 
예를 들어, 변수인 x를 한 반의 수능 응시자,
y를 사회 탐구 과목 선택 유형이라고 했을 때

y는 사회문화와 경제, 생활과 윤리와 윤리와 사상, 정치와 법과 사회문화, 세계사와 세계지리 등 다양한 경우의 수가 있습니다.
하지만 많은 학생들이 생활과 윤리와 사회문화에 많은 선택을 해서 "생윤&사문"이란 y값엔 x가 몰려도
"정치와 법 & 세계지리" 라는 y값은 선택이 되지 않을 수도 있어요.
이렇게 x값은 하나의 y값만 선택할 수 있으며 이렇게 선택된 y들의 집합을 치역이라고 합니다.
 
결국 이런 함수의 원리는 삼각함수, 미적분에까지 적용이 된다고 할 수 있어요.
 
무작정 암기를 하기보다 이해를 해서 자연스럽게 기억이 나는 스타일로 공부하는 게 효과가 좋을 때가 많습니다.

sin(2ㅠ+Ɵ)=sinƟ

cos(2ㅠ+Ɵ)=cosƟ

tan(ㅠ+Ɵ)=cosƟ

여기서 ㅠ값은 각 함수의 주기로 sin과 cos은 2ㅠ마다 반복되고 tan는 ㅠ마다 반복된다.

(sin과 cos은 2nㅠ, tan는 nㅠ로 나타낼 수 있음.)

 

Ɵ가 함수 그래프의 제 1사분면의 각이라고 했을 때

sin(ㅠ+Ɵ)=-sinƟ
sin(ㅠ -Ɵ)=sinƟ
cos(ㅠ+Ɵ)=-cosƟ
cos(ㅠ -Ɵ)=-cosƟ
tan(ㅠ+Ɵ)=tanƟ
tan(ㅠ -Ɵ)=tanƟ

라고 할 수 있음.

 

Ɵ가 함수 그래프의 제 1사분면의 각이라고 했을 때

sin(ㅠ/2+Ɵ)=cosƟ

sin(ㅠ/2 -Ɵ)=cosƟ

cos(ㅠ/2+Ɵ)=-sinƟ

cos(ㅠ/2 -Ɵ)=sinƟ

tan(ㅠ/2+Ɵ)=-1/tanƟ

tan(ㅠ/2 -Ɵ)=1/tanƟ

tanƟ가 특이하게 분수인 이유는 tanㅠ/2지점에서 Ɵ를 더하고 뺏을 때와
(0,0)원점에서 Ɵ를 더하고 뺏을 때의 y값이 역수 관계이기 때문.
 
그리고,
sin(3ㅠ/2+Ɵ)=-cosƟ

sin(3ㅠ/2 -Ɵ)=-cosƟ

cos(3ㅠ/2+Ɵ)=sinƟ

cos(3ㅠ/2 -Ɵ)=-sinƟ

tan(3ㅠ/2+Ɵ)=tan(ㅠ/2+Ɵ)=-1/tanƟ

tan(3ㅠ/2 -Ɵ)=tan(ㅠ/2 -Ɵ)=1/tanƟ

라고 할 수 있음.

를 기억하는데 꽤 애를 먹습니다.
 
그래서 애초에 책에 쓰여진 공식을 막 외우지 않는 게 포인트.
나중에 공식 잘못 외우거나
실수로 까먹으면 문제가 생기기 마련이기 때문입니다.
 
각 함수의 그래프를 직접 그려보고 실제로 Ɵ가 각 주기에 얼만큼 이동했는지에 따라 +,-값을 결정하고
ㅠ/2와 3ㅠ/2는 그래프를 평행이동 시켜보면서 sin인지 cos인지 구해보았어요.
 
확실히 수학의 개념이 왜 그렇게 되는지
공식은 어떻게 구해지는지 등의 과정들과 개념 그 자체를 이해하고
가끔씩 복습을 해볼 때 머리 속에서 자동으로 나오게 되는 걸 느낄 수 있습니다.
 
되새김질은 필수!